直线与抛物线的位置关系

发布日期:2020-11-21 20:52   来源:未知   

原标题:直线与抛物线的位置关系

【基础回顾】

一、课本基础提炼

1.研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.

2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1 +x2 +p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式

二、二级结论必备

过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.

【技能方法】

1.直线与抛物线相交时的弦长问题

若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|=x1 +x2 +p;若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.

例1.已知抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值.

【解析】 (1)由题可知F,

则该直线方程为

代入y2 =2px(p>0),得

设M(x1 ,y1 ),N(x2 ,y2 ),

则有x1 +x2 =3p.

∵|MN|=8,

∴x1 +x2 +p=8,即3p+p=8,解得p=2,

∴抛物线的方程为y2 =4x.

(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2 =4x,得x2 +(2b-4)x+b2 =0.

∵l为抛物线C的切线,∴Δ=0,解得b=1.

∴l的方程为y=x+1.

设P(m,m+1),则=(x1 -m,y1 -(m+1)),=(x2 -m,y2 -(m+1)),